欧冠淘汰赛抽签：利物浦、曼城和切尔西最有可能的对手是谁？

　　周一的欧冠淘汰赛抽签会受到种子和地理位置的影响，这意味着英超球队比其他任何球队都更有可能得到门兴格拉德巴赫

　　现在我们知道了从冠军联赛小组赛晋级的16支球队，我们可以计算出16轮比赛的概率。

　　欧冠抽签概率

　　门兴格拉德巴赫是利物浦（18.3%）、曼城（18%）和切尔西（18.7%）最可能的对手，这三支英格兰球队仍在竞争中。波尔图，曼城在16强赛中不能再次相遇，是利物浦和切尔西最不可能的对手（10.6%，所有比赛中可能性最小），而亚特兰大是市民队最不可能的对手（12.4%）。

　　总的来说，最有可能的对决是皇马对阵莱比锡，概率超过30%。拜仁慕尼黑最有可能的对手是巴塞罗那（有22.2%的可能性，这场类似决赛的比赛将成为16强赛的亮点）。互惠并不是自动的：虽然格拉德巴赫是三家英格兰俱乐部中最有可能的对手，但格拉德巴赫最有可能的对手实际上是尤文图斯（25.7%）。请注意，一支英格兰球队在今年冬天迎战格拉德巴赫的可能性更大（55%）。

　　有人可能会想，为什么利物浦、曼城和切尔西在遇到七个可能的对手中的任何一个的概率都不一样，1/7=14.3%。人们可能还想知道为什么概率变化如此之大，人们甚至可以如何计算它们——我们之前已经做了更深入的解释。

　　更多来自这个作者欧冠淘汰赛抽签：如果小组冠军可以选择他们的对手呢？

　　小组优胜者（按A组到H组的顺序写在表格顶部）只能与亚军相遇（按相同顺序列在表格左侧）。然而，一个俱乐部不能再遇到自己的小组亚军-因此对角线上的零。此外，来自同一个国内联赛的两个俱乐部不能互相抽签：非对角线的0对应于这个约束。

　　我们如何计算所有的非零概率？让我们以利物浦为例。

　　红军有7个可能的对手，所以有人会认为他们有1/7=14.3%的机会遇到他们中的任何一个。然而，如果我们按照这个推理，利物浦对格拉德巴赫的概率也应该是20%，因为格拉德巴赫只有五个可能的对手。当然，利物浦对阵格拉德巴赫的概率不能同时达到14.3%和20%。实际上，两个数字都错了。

　　一个人也可能被诱惑去推理如下。其中一个列出了绘图的所有可容许的完整结果，即满足所有约束的所有结果。今年，一共有3305个。然后，一个测量3305个结果的比例，比如说，利物浦和格拉德巴赫的比赛。因为利物浦和格拉德巴赫的比赛结果正好是611场，所以611/3305的概率为18.5%。

　　然而，这也不是正确的概率。如果欧足联在3305个球中抽到一个球是正确的，每个球代表一个可以接受的完整的抽签结果。但当然，这不是抽签的方式。

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　　首先，一个亚军是随机抽取的，一个（回溯）算法确定了被抽取队伍的可接纳对手的名单。这并不像看上去那么简单，因为算法必须防止将来出现死路一条。

　　例如，假设剩下的两个亚军是巴塞罗那和拉齐奥，剩下的两个小组冠军是皇家马德里和拜仁慕尼黑。如果拉齐奥先被平局，即使它可以事先与皇马和拜仁交手，计算机也会将皇马列为拉齐奥唯一可以接受的对手，以确保平局不会以皇马对巴萨结束（因为两队都来自西班牙，所以这是禁止的）。

　　一旦确定了可接纳的反对者名单，就随机抽取其中一个反对者。然后另一个亚军被抽签，程序重复，直到所有的比赛都被决定。这样，我们就不用在3305中抽一个球了。但我们也修改了抽签概率！

　　计算正确平局概率的一种简单、可靠的方法是模拟大量的完全平局，遵循欧足联遵循的确切程序，并测量所有比赛的频率。上面的概率表是这样计算的，我模拟了一百万次。在计算机上也可以计算出准确的概率。这两种方法给出了相同的结果，直到（非常小的）模拟方法的采样误差。

　　抽签程序对概率有影响：利物浦对格拉德巴赫的可能性略低于预期（18.3%对18.5%），而切尔西对格拉德巴赫的可能性略高于预期（18.7%对18.5%）。所谓“应该是”，我的意思是，如果抽签的3305个可接受的结果都是同样可能的。而且，正如我们在这里所展示的，先画出小组冠军，而不是亚军，将产生另一组概率。

　　最后，让我们反思一个有趣的事实：虽然波尔图是皇马最不可能的对手，但皇马是波尔图最可能的对手。啊，当足球邀请我们反思概率，体验数学的奇妙和美丽！